Урок №4

Восьмеричная система счисления.

Восьмеричная система счисления — это система счисления с основанием 8, в которой используются восемь символов (или цифр), а именно 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Например, 22₈, 13₈, 17₈ и т. д. — это восьмеричные числа. Эта система счисления в основном используется в компьютерном программировании, так как это компактный способ представления двоичных чисел, где каждое восьмеричное число соответствует трём двоичным цифрам.

Особенности восьмеричной системы:

• позволяет компактно представлять большие числа, используя меньшее количество цифр, чем в десятичной системе счисления;
• широко применяется в программировании и компьютерной технике, так как биты, состоящие из 0 и 1, легко преобразуются в восьмеричные числа.

Арифметические действия в системе счисления с основанием 8 выполняются также как и в десятичной. Удобнее всего складывать и вычитать большие числа столбиком.

Пример перевода восьмеричного числа 4517 в десятичную систему счисления: 435211708=4×83+5×82+1×81+7×80=4×512+5×64+1×8+7×1==2048+320+8+7=238310.

Двоичная система счисления, в которой представляется информация в компьютере, сложна для человеческого восприятия: длинные последовательности из нулей и единиц трудно читать, сравнивать, запоминать.

Стоит взять систему счисления с основанием, равным степени двойки. Тогда всем цифрам в этой системе счисления будут соответствовать наборы двоичных цифр одинаковой длины.

Восьмеричная система счисления

Рассмотрим систему счисления с основанием : . В ней семь цифр: от  до . Можно поставить в соответствие каждой восьмеричной цифре её двоичное представление — три двоичных цифры, триаду.

Это позволит просто и быстро переводить числа между двоичной и восьмеричной системами.

Пример: переведём в двоичную систему .

Результат: .

Пример: переведём в восьмеричную систему число .

Результат: .

Проверим и заодно вспомним переводы чисел в разные системы счисления разными способами.

Первый пример. Переведём в десятичную систему восьмеричное () и двоичное () числа и проверим, совпадут ли они.

. Всё правильно.

Второй пример. Проверим перевод иначе: двоичное число  переведём в десятичную, а то, что получилось, — в восьмеричную.

Теперь переведём число из десятичной в восьмеричную.

1383 | 7
172  | 4
21 | 5
2 | 2

Получилось  — сошлось.

Так мы сравнили, насколько легче идут прямые переводы между двоичной и восьмеричной системами, чем через десятичную.

---

Что такое система счисления?

Система счисления— это способ выражения чисел. Она содержит наборы символов (или цифр) в сочетании с набором правил для представления определённой величины. Системы счисления в основном делятся на четыре типа:

• Десятичная система счисления (с основанием 10 и символами от 0 до 9)
• Система двоичных чисел (с основанием 2 и символами 0 и 1)
• Шестнадцатеричная система счисления (с основанием 16 и символами от 0 до 9 и от A до F)
• Восьмеричная система счисления (с основанием 8 и символами от 0 до 7)

Что такое восьмеричная система счисления?

Восьмеричная система счисления — это система счисления с основанием 8, в которой используются цифры от 0 до 7, где каждая позиция представляет собой степень 8. Она широко используется в вычислениях для упрощения преобразования в двоичную систему.

‘Октальная‘ система счисления происходит от латинского слова ‘OCT’, что означает «восемь». Система счисления с основанием 8 и символами от 0 до 7 известна как восьмеричная система счисления. Каждая цифра восьмеричного числа представляет собой степень 8. Она широко используется в компьютерном программировании и цифровых системах. Восьмеричную систему счисления можно преобразовать в другие системы счисления и наоборот.

Например, восьмеричное число (10)₈ эквивалентно 8 в десятичной системе счисления, 001000 в двоичной системе счисления и 8 в шестнадцатеричной системе счисления.

Таблица Системы Восьмеричных чисел

В таблице, приведённой ниже, показаны восьмеричные и десятичные числа. 3 бита в двоичной системе счисления эквивалентны одному восьмеричному числу.

Теперь мы по очереди рассмотрим преобразование восьмеричной системы счисления в другие системы счисления. Итак, начнём.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Десятичная система счисления имеет основание 10 и состоит из цифр от 0 до 9. Мы можем легко преобразовать восьмеричное число в десятичное, выполнив следующие простые действия:

• Шаг 1: Напишите восьмеричное число.
• Шаг 2: Умножьте каждую цифру заданного восьмеричного числа на возрастающую степень 8, начиная с крайней правой цифры.
• Шаг 3: Сложите все произведения, полученные на шаге 2.

Пример 1: представьте 123₈ в виде десятичного числа.

Решение:

123₈ = 1 × 8² + 2 × 8¹ + 3 × 8⁰

⇒ 123₈ = 1 × 64 + 2 × 8 + 3 × 1

⇒ 123₈ = 64 + 16 + 3

⇒ 123₈ = 83₁₀

Следовательно, 83₁₀ — это десятичное представление 123₈.

Преобразование десятичной дроби в восьмеричную

Чтобы преобразовать десятичное число в восьмеричное, выполните следующие простые действия:

Шаг 1: Разделите данное десятичное число на 8.

Шаг 2: Запишите полученное частное и остаток.

Шаг 3: Разделите полученное частное на 8.

Шаг 4: Повторяйте шаги 2 и 3 до тех пор, пока частное не станет равным 0.

Шаг 5: Запишите полученный остаток в обратном порядке.

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания.

Пример 2: представьте число 164₁₀ в виде восьмеричного числа.

Решение:

164/8, частное = 20, остаток = 4

20/8, частное = 2, остаток = 4

2/8, частное = 0, остаток = 2

Теперь, записав полученные остатки в обратном порядке, мы получим 244.

Следовательно, 244₈ — это восьмеричное представление числа 164₁₀

На изображении, добавленном ниже, показано преобразование двоичной системы счисления в восьмеричную.

Преобразование восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и является буквенно-цифровой системой счисления, состоящей из цифр от 0 до 9 и букв от A до F. Чтобы преобразовать восьмеричное число в шестнадцатеричное: сначала преобразуйте восьмеричное число в десятичное; затем преобразуйте полученное десятичное число в шестнадцатеричное.

Шаги по преобразованию Восьмеричного числа в десятичное

• Шаг 1: Напишите восьмеричное число.
• Шаг 2: Умножьте каждую цифру заданного восьмеричного числа на возрастающую степень 8, начиная с крайней правой цифры.
• Шаг 3: Сложите все произведения, полученные на шаге 2.

Шаги по преобразованию десятичного числа в шестнадцатеричное

• Шаг 1: разделите десятичное число на 16.
• Шаг 2: Запишите полученное частное и остаток.
• Шаг 3: Разделите полученное частное на 16.
• Шаг 4: Повторяйте шаги 2 и 3 до тех пор, пока частное не станет равным 0.
• Шаг 5: Запишите полученный остаток в обратном порядке.
• Шаг 6: Преобразуйте каждый полученный остаток в соответствующую ему шестнадцатеричную цифру.

Соответствующее значение 0-9 остаётся прежним в шестнадцатеричной системе, а 10-15 соответствуют A-F в шестнадцатеричной системе, которая представлена как

Пример 3: преобразуйте 174₈ в шестнадцатеричное число.

Решение:

Шаг 1: преобразуйте 174₈ в десятичную дробь

174₈ = 1 × 8² + 7 × 8¹ + 4 × 8⁰

174₈ = 1 × 64 + 7 × 8 + 4 × 1

174₈ = 64 + 56 + 4 = 124

Мы получаем 174₈ = 124₁₀

Шаг 2: Преобразуйте 124₁₀ в шестнадцатеричное число

124/16, частное = 7, остаток = 12

7/16, частное = 0, остаток = 7

Преобразуя полученные остатки в соответствующие шестнадцатеричные числа и записывая их в обратном порядке, мы получаем:

124₁₀ = 7C₁₆

Следовательно, мы получаем 174₈ = 7C₁₆

Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в восьмеричное, нужно сначала преобразовать его в десятичное, а затем десятичное число в восьмеричное.

Шаги по преобразованию шестнадцатеричного числа в десятичное

Мы можем использовать следующие шаги для преобразования шестнадцатеричных чисел в десятичные.

Шаг 1: Запишите соответствующее десятичное значение для заданного шестнадцатеричного числа.

Шаг 2: Умножьте каждую цифру полученного числа на возрастающую степень 16, начиная с крайней правой цифры.

Шаг 3: Сложите все произведения, полученные на шаге 2.

Шаги по преобразованию десятичного числа в восьмеричное

Мы можем использовать следующие шаги для преобразования десятичного числа в восьмеричное.

Шаг 1: Разделите данное десятичное число на 8.

Шаг 2: Запишите полученное частное и остаток.

Шаг 3:Разделите полученное частное на 8.

Шаг 4: Повторяйте шаги 2 и 3 до тех пор, пока частное не станет равным 0.

Шаг 5: Запишите полученный остаток в обратном порядке.

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания.

Пример 4: преобразуйте 9B₁₆ в восьмеричное число.

Решение:

Шаг 1: сначала преобразуйте 9B₁₆ в десятичное число:

Соответствующие десятичные значения 9 и B равны 9 и 11 соответственно.

9B₁₆ = 9 × 16¹ + 11 × 16⁰

9B₁₆ = 9 × 16 + 11 × 1

9B₁₆ = 144 + 11 = 155

Мы получаем 9B₁₆ = 155₁₀

Шаг 2: Преобразуйте 155₁₀ в восьмеричное число

155/8, частное = 19, остаток = 3

19/8, частное = 2, остаток = 3

2/8, частное = 0, остаток = 2

Записывая полученные остатки в обратном порядке, мы получаем:

155₁₀ = 233₈

Следовательно, мы получаем 9B₁₆ = 233₈

От восьмеричного к Двоичному числу

Преобразовать восьмеричное число в двоичное очень просто: нужно просто записать соответствующее двоичное значение каждой цифры заданного восьмеричного числа. Соответствующие значения восьмеричных и двоичных чисел:

Пример 5: преобразуйте 213₈ в двоичное число.

Решение:

Запишите соответствующее двоичное значение каждой цифры данного восьмеричного числа:

2 —> 010

1 —> 001

3 —> 011

Следовательно, мы получаем 213₈ = 010001011₂

Преобразование двоичного числа в Восьмеричное

Мы можем легко преобразовать двоичное число в восьмеричное, выполнив следующие действия:

• Шаг 1. Разбейте двоичное число на группы по три цифры, начиная справа.
• Шаг 2. Запишите соответствующее восьмеричное значение каждого двоичного триплета, полученного на шаге 1.

Пример 6: преобразуйте 100111001₂ в восьмеричное число.

Решение:

Разбейте число 100111001 на группы по три цифры и запишите соответствующее ему восьмеричное число

100 —> 4

111 —> 7

001 —> 1

Следовательно, мы получаем 100111001₂ = 471₈

Преобразование двоичной системы счисления в десятичную добавлено на изображении ниже,

Таблица Восьмеричного умножения

Ниже добавлена таблица восьмеричного умножения,

Решенные примеры по восьмеричной системе счисления

Пример 1: чему равно десятичное эквивалентное значение 1121₈?

Решение:

1121₈ = 1 × 8³ + 1 × 8² + 2 × 8¹ + 1 × 8⁰

1121₈ = 1 × 512 + 1 × 64 + 2 × 8 + 1 × 1

1121₈ = 512 + 64 + 16 + 1 = 593

Следовательно, 1121₈ = 593₁₀

Пример 2: преобразуйте 27₈ в двоичное число.

Решение:

Запишите двоичный эквивалент каждой цифры из 27₈

2 —> 010

7 —> 111

Следовательно, 27₈ = 010111₂

Пример 3: найдите восьмеричный эквивалент числа 1001001₂

Решение:

Разбив 10101111 на группы по три, начиная с крайней правой цифры и добавляя ведущие нули, мы получим:

001, 001, 001

Запишите восьмеричный эквивалент сформированных групп

001 -> 1 001 -> 1 001 -> 1

Ответ — (111)8

Восьмеричная система счисления — Часто задаваемые вопросы

Что такое Восьмеричная система счисления?

Система счисления с основанием 8 и символами от 0 до 7 известна как восьмеричная система счисления. Каждая цифра восьмеричного числа представляет собой степень 8. Она широко используется в компьютерном программировании и цифровых системах.

Каков восьмеричный эквивалент (100)₁₀?

(144)₈ — это восьмеричное представление (100)₁₀

Какие существуют типы систем счисления.?

Существует четыре типа систем счисления,

• Десятичная система счисления (с основанием 10 и символами от 0 до 9)
• Двоичная система счисления (с основанием 2 и символами 0 и 1)
• Шестнадцатеричная система счисления (с основанием 16 и символами от 0 до 9 и от A до F)
• Восьмеричная система счисления (с основанием 8 и символами от 0 до 7)

Каковы символы Восьмеричной системы счисления?

Основание восьмеричной системы счисления равно 8, поэтому она состоит из 8 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.