Логические выражения

Логические операции «и», «или», «не» позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.

Конъюнкция (логическое умножение, логическое «и»). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.

Дизъюнкция (логическое сложение, логическое «или»). Высказывание ложно тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания.

Отрицание (инверсия, логическое «не»). Высказыванию ставится в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Например, высказывание «Москва — столица России» истинно, а образованное с помощью логического отрицания («Москва — не столица России») — ложно.

Выясним, что такое инверсия, конъюнкция и дизъюнкция и как они влияют на работу компьютера. 

Основные логические операции НЕ, И, ИЛИ и двоичные переменные, принимающие значения «0 — ложь» и «1 — истина», впервые ввёл английский математик Джордж Буль, поэтому формальную логику часто называют булевой.

Простые логические высказывания нельзя разделить на более мелкие. Это повествовательные предложения, которые могут быть истинными или ложными. Сложные логические высказывания строятся из простых с помощью логических операций инверсии (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ). Каждая из логических операций имеет своё обозначение и таблицу истинности.

Инверсию обозначают несколькими равносильными символами: НЕ, ㄱ, Ā, not A (А — логическое высказывание). Если высказывание А истинно, то после инверсии оно станет ложным, и наоборот.

Таблица истинности для логической функции «инверсия»

Логическая функция — правила преобразования входных логических значений в итоговый результат. Логическая функция может состоять как из одной логической операции, так и из множества логических операций, выполняемых последовательно друг за другом согласно их приоритету.

Конъюнкцию обозначают символами И, ⴷ, &, А and В (А, В — простые логические высказывания). Эту логическую операцию выполняют минимум для двух простых высказываний. Она будет истинна только в том случае, когда все высказывания, для которых выполняется конъюнкция, истинны.

Таблица истинности для логической функции «конъюнкция»

Дизъюнкцию обозначают как ИЛИ, ∨, |, А or В. Эту логическую операцию выполняют минимум для двух простых логических высказываний. Она будет истинна в том случае, когда хотя бы одно из высказываний истинно.

Таблица истинности для логической функции «дизъюнкция»

При упрощении логических высказываний или для определения значения логической функции необходимо учитывать приоритет логических операций. Как и в арифметике, в первую очередь выполняются действия в скобках, потом — инверсия (отрицание), затем — конъюнкция (логическое умножение) и, последней, дизъюнкция (логическое сложение).

Компьютер преобразует входящую последовательность сигналов в виде 0 и 1 именно при помощи логических операций.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логической операции. В простом логическом выражении может быть только два результата – либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями.

В сложных логических выражениях используют логические операции.

Существуют три основные операции над высказываниями: логическое сложение, логическое умножение и отрицание.

НЕ – Логическое отрицание (инверсия)

Операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное высказывание. Результатом операции НЕ будет «ложь», если исходное выражение истинно и «истина», если исходное выражение ложно.

Для операции отрицания приняты следующие обозначения: НЕ А,  ┐А, , not A.

Таблица со всеми возможными значениями исходных выражений и соответствующими им результатами операции получила название таблица истинности.

Задание 1. Создать отрицание для логических выражений. Определите результат операции отрицания.

1. Земля вращается вокруг Солнца.
2. Пушкин – гениальный русский поэт.
3. 5х = 10.
4. 4 – простое число.

ИЛИ –  Логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое и сложное логические выражения.

Применяемые обозначения: А или В, А \/ В, А + В, А or В.

Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений или оба выражения.

Задание 2. Составить из логических выражений  дизъюнкцию.

1. Марина старше Светы. Оля старше Светы.
2. В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.
3. Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко.
4. Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого.

И – Логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое и сложное логическое выражение.

Применяемые обозначения: А и В, А /\ В, А ∙ В, А&В, А and В.

Результатом операции И является выражение, которое будет истинным, если истинны оба высказывания.

Задание 3. Составить из логических выражений  конъюнкцию.

1. Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса изучает немецкий язык.
2. Суффикс есть часть слова. Суффикс стоит после корня.
3. Две прямые на плоскости параллельны. Они не пересекаются.
4. Петя поедет в деревню. Петя пойдет на рыбалку.

3. Закрепление.

Задание 4. Пусть А = «Эта звездная ночь» а В = «Эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке:

1. А И В;
2. А И НЕ В;
3. НЕ А И НЕ В;
4. НЕ А ИЛИ В;
5. А И НЕ В;
6. НЕ А И НЕ В;

Задание 5. Составьте и запишите истинные сложные высказывания с использованием логических операций.

1. Неверно, что y > 5 и z < 0.
2. Любое из чисел X, Y, Z отрицательно.
3. Все числа X, Y, Z равны 12.
4. Неверно, что все числа X, Y, Z положительны.